Question

12．已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，若三棱锥O-ABC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，则球的表面积为16π．

Answer 1

分析 取BC中点D，连结AD，OD，过O作OE⊥平面ABC，交AD于E，则AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{2}{3}AD$=$\sqrt{3}$，由三棱锥O-ABC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求出OE=1，从而得到球半径OA=2，由此能求出球的表面积．

解答 解：∵边长为3的等边三角形ABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，
∴AB=AC=BC=3，
取BC中点D，连结AD，OD，过O作OE⊥平面ABC，交AD于E，
则AD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\frac{2}{3}AD$=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{1}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×3×3×sin60°$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵三棱锥O-ABC的体积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×OE=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得OE=1，
∴球半径OA=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
∴球的表面积为S=4π×2²=16π．
故答案为：16π．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．