Question

16、设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³； ③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是

①②③④

．

Answer 1

分析：根据题意，结合各个选项，逐一检验答案，将条件等价转化变形，综合考虑函数的周期性、对称性、解析式，分析可得答案．

解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，
故①正确．
当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正确．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
故③正确．
∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．
故正确的命题有  ①②③④，
故答案选  ①②③④．

点评：本题考查函数的奇偶性和周期性，以及运用函数的奇偶性和周期性求函数解析式及函数值、函数图象的对称性．