【题目】已知函数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)对函数求导来利用,得出函数的单调区间,这里注意对的讨论;(2)要让恒成立,应猜想函数在上单调递增或递减,而或恒成立;所以下面要做的是看,或恒成立,然后再看在上单调性.
试题解析:(1),则.
当时,对,有,所以函数在区间上单调递增;
当时,由,得,由,得,
此时函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
综上,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数的单调递增区间为,
单调递减区间为.
(2)易知当时,,故当.
先分析证明:.
要证,只需证,即证,
构造函数,则,
故函数在上单调递增,所以,则成立.
当时,由(1)知,在上单调递增,则在上恒成立;
当是地,由(1)知,函数在上单调递增,在上单调递减.
故当时,,所以,则不满足题意.
所以满足题意的实数的取值范围是
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
与的情况如上:
所以,的单调递减区间是,单调递增区间是.
(Ⅱ)当,即时,函数在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,
由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,函数在上单调递减,
所以在区间上的最小值为.
综上,当时,的最小值为;
当时,的最小值为;
当时,的最小值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点为抛物线上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,过作的两弦与,若,求证: 直线过定点.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则实数a的取值范围是( )
A.(0, )
B.( ,1)
C.( ,1)
D.(0, )
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 (φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+ )=3 ,射线OM:θ= 与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆C的圆心坐标为(2,0),半径为 ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: (t为参数).
(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
(2)点P的极坐标为(1, ),直线l与圆C相交于A,B,求|PA|+|PB|的值.
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【题目】下列说法:
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变;
②设有一个线性回归方程,变量x增加1个单位时,y平均增加5个单位;
③设具有相关关系的两个变量x,y的相关系数为r,则|r|越接近于0,x和y之间的线性相关程度越强;
④在一个2×2列联表中,由计算得K2的值,则K2的值越大,判断两个变量间有关联的把握就越大.
以上错误结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;
(2)求ξ的分布列和数学期望.
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