Question

若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．

（1）若x²﹣1比3接近0，求x的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近；

（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

Answer 1

考点：

绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．

专题：

计算题；压轴题；新定义；转化思想．

分析：

（1）根据新定义得到不等式|x²﹣1|＜3，然后求出x的范围即可．

（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a²b+ab²比a³+b³接近；

（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，

直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．

解答：

解：（1）|x²﹣1|＜3，0≤x²＜4，﹣2＜x＜2

x∈（﹣2，2）；

（2）对任意两个不相等的正数a、b，

有，，

因为，

所以，

即a²b+ab²比a³+b³接近；

（3），

k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，

最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，

函数f（x）在区间单调递增，

在区间单调递减，k∈Z．

点评：

本题是新定义题目，直线审题是能够解题的根据，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果．注意转化思想的应用．