Question

12．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a
（1）求f（x）的极值
（2）曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数连续可导，只需讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0即可．

解答 解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=1．
又∵当x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）时，f'（x）＞0；
当x∈（-$\frac{1}{3}$，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
∴x₁=-$\frac{1}{3}$与x₂=1分别为f（x）的极大值与极小值点．
∴f（x）_极大值=f（-$\frac{1}{3}$）=a+$\frac{5}{27}$；f（x）_极小值=a-1；
（2）∵f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．
即a+$\frac{5}{27}$＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-$\frac{5}{27}$）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．