Question

定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；
（Ⅲ）若，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x₂>x_1，则，，故，故其为增函数；然后利用单调性脱解一元二次不等式.
试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]²  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分
（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x)∴  4分
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴，又x=0时，f(0)=1>0       6分
∴对任意x∈R，f(x)>0               7分
(Ⅲ)任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0  8分
∴
∴f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函数       10分
f(x)·f(2x-x²)=f[x+(2x-x²)]=f(-x²+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴由f(3x-x²)>f(0)得：x-x²>0 ∴ 0<x<3       13分