Question

（2003•东城区二模）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁与AB的中点．
（Ⅰ）求异面直线BD₁，与CF所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-FC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使CG=

1

2

DC，连结BG，D₁G．∠D₁BG就是异面直线BD₁与CF所成的角．
在△D₁BG中求解．
（Ⅱ）过A₁作A₁H⊥CF，交CF的延长线于H．连结AH．∠A₁HA为二面角A₁---FC---D的平面角．在Rt△A₁AH中求解．

解答：解：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使CG=

1

2

DC，连结BG，D₁G．
∵FB∥GC，FB=GC
∴四边形FBGC是平行四边形．
∴BG∥FC．
∴∠D₁BG就是异面直线BD₁与CF所成的角．（3分）
在△D₁BG中，D1B=

3

，BG=

5

2

，D1G=

12+( 3 2 )2= 13 2 ，

∴cos∠D1BG=

D1B2+BG2-D1G2

2D1B•BG

=

3+ 5 4 - 13 4

2× 15 2

=

15

15

．
即异面直线BD₁与CF所成角的余弦值是

15

15

．（6分）
（Ⅱ）过A₁作A₁H⊥CF，交CF的延长线于H．连结AH．∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AH是A₁H在平面ABCD内的射影
∴AH⊥CH．（8分）
则∠A₁HA为二面角A₁---FC---D的平面角．（9分）

底面ABCD如图所示．
由于∠AHF=∠B=90°，∠AFH=CFB，
则△AHF～△CBF．
∴

AH

CB

=

AF

CF

．
∴CF=

5

2

，AF=

1

2

，
∴AH=

CB•AF

CF

=

1• 1 2

5 2

=

1

5

．(11分)
在Rt△A₁AH中，A1A=1，AH=

1

5

，
∴tan∠A1HA=

A1A

AH

=

5

．
则二面角A₁-FC-D的大小为arctg

5

．（13分）

点评：本题考查空间角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．