Question

1．如图，抛物线E：y²=2px（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x₀，y₀）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l₁，l₂，l₁与l₂相交于点M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y²=2px，解p．
（Ⅱ）设$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，y₁≠0，y₂≠0．切线l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，代入y²=2x，求出$k=\frac{1}{y_1}$，得到l₁方程为$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程为$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x₀x+y₀y=8，联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$利用韦达定理，代入$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$可知M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，求出动点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），
代入y²=2px，解得p=1，
（Ⅱ）设$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，y₁≠0，y₂≠0．
切线l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，
代入y²=2x得$k{y^2}-2y+2{y_1}-ky_1^2=0$，由△=0解得$k=\frac{1}{y_1}$，
∴l₁方程为$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程为$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}\\ y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，
∵CD方程为x₀x+y₀y=8，其中x₀，y₀满足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$得${x_0}{y^2}+2{y_0}y-16=0$，则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{{2{y_0}}}{x_0}\\{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{x_0}\end{array}\right.$，
代入$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$可知M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，
代入$x_0^2+y_0^2=8$得$\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$，
考虑到${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，知$x∈[{-4，-2\sqrt{2}}]$．
∴动点M的轨迹方程为$\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$，$x∈[{-4，-2\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，动点的轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．