Question

12．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD=FB．
（Ⅰ）若DC=2EF，求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF与平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）证明BD⊥平面AFC，即可证明：平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点G，连接OG，FG．
∵对角线AC与BD的交点为O，
∴OG∥DC，OG=$\frac{1}{2}DC$，
∵EF∥DC，DC=2EF，
∴OG∥EF，OG=EF，
∴OGFE为平行四边形，
∴OE∥FG，
∵FG?平面ADF，OE?平面ADF，
∴OE∥平面ADF；
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC⊥BD，
∵FD=FB，O是BD的中点，
∴OF⊥BD，
∵OF∩OC=O，
∴BD⊥平面AFC，
∵?P?平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）解：作FH⊥AC于H．
∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，
由题意，△BCD为正三角形，OA=$\sqrt{3}$，BD=AB=2，
∵FD=FB=2，
∴△FBD为正三角形，∴OF=$\sqrt{3}$．
△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF=$\frac{3+3-9}{2•\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠AOF=120°，
∴∠FAH=∠FAO=30°，
∴AF与平面ABCD所成角为30°．

点评 本题考查线面平行，面面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．