Question

4．已知数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，a₆=a₂，则a₂₀₁₆+a₃=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据数列递推公式求出a₃，再由a₆=a₂，求出a₂=a₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，而a₂₀₁₆=a_503×4+6=a₆，问题得以解决．

解答 解：a_n＞0，a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴a₃=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₆=a₂，
∴a₆=$\frac{1}{{a}_{4}+1}$，a₄=$\frac{1}{{a}_{2}+1}$，
∴a₆=$\frac{{a}_{2}+1}{{a}_{2}+2}$=a₂，
∵a_n＞0，
解得a₂=a₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
∴a₂₀₁₆=a_503×4+6=a₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴a₂₀₁₆+a₃=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．