Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（　　）

• A． [-1，-$\frac{1}{3}$]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• C． [-1，1]
• D． [-1，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求导数f′（x）=x+tsinx，并设g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上单调递增即可得出tcosx≥-1恒成立，这样即可求出t的取值范围．

解答 解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；
∵f′（x）在R上单调递增；
∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；
∴tcosx≥-1恒成立；
∵cosx∈[-1，1]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-t≥-1}\\{t≥-1}\end{array}\right.$；
∴-1≤t≤1；
∴实数t的取值范围为[-1，1]．
故选：C．

点评 考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．