Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差为d，得到$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=4（2{a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2（{a}_{1}+nd）-3}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）利用递推关系即可得出得a_nb_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再根据等比数列的求和公式即可求出．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则有$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=4（2{a}_{1}+d）}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2（{a}_{1}+nd）-3}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
（2）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，①
当n=1时，a₁b₁=$\frac{1}{2}$，
∴b₁=$\frac{1}{2}$
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=3-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，②
①式减去②式得$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
求得b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，易知n=1也成立，
∴数列{b_n}为等比数列，
其前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$

点评 本题考查了递推公式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．