Question

5．已知函数$f（x）=\sqrt{4-|{ax-2}|}（{a≠0}）$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式，进一步分类求解含参数的不等式得答案；
（2）把不等式f（x）≥1恒成立转化为|ax-2|≤3，记g（x）=|ax-2|，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≤3}\\{g（1）≤3}\end{array}\right.$，求解不等式组得答案．

解答 解：（1）要使原函数有意义，则|ax-2|≤4，即-4≤ax-2≤4，得-2≤ax≤6，
当a＞0时，解得$-\frac{2}{a}≤x≤\frac{6}{a}$，函数f（x）的定义域为$\left\{{x|-\frac{2}{a}≤x≤\frac{6}{a}}\right\}$；
当a＜0时，解得$\frac{6}{a}≤x≤-\frac{2}{a}$，函数f（x）的定义域为$\left\{{x|\frac{6}{a}≤x≤-\frac{2}{a}}\right\}$．
（2）f（x）≥1?|ax-2|≤3，记g（x）=|ax-2|，
∵x∈[0，1]，∴需且只需$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≤3}\\{g（1）≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2≤3}\\{|a-2|≤3}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤5，
又a≠0，∴-1≤a≤5，且a≠0．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了含有参数的不等式的解法，是中档题．