Question

11．已知a+3b=1，求：
（1）9a²+b²，9a²+（b-1）²的最小值；
（2）$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{b}$（a，b＞0），$\frac{4}{1-a}$+$\frac{1}{1-3b}$（a，b＞0）的最小值；
（3）$\frac{1}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1}{1-9{b}^{2}}$（a，b＞0），$\frac{{a}^{2}}{1-a}$+$\frac{3{b}^{2}}{1-b}$（a，b＞0）的最小值；
（4）$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$，$\sqrt{1-a}$+$\sqrt{2-6b}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式求最小值；
（2）对已知等式活用，构造基本不等式的形式求最小值；
（3）对已知等式活用，构造基本不等式的形式求最小值；
（4）利用柯西不等式求最大值；

解答 解：（1）由柯西不等式：$（9{a}^{2}+{b}^{2}）（\frac{1}{9}+9）≥（3a•\frac{1}{3}+b•3）^{2}=（a+3b）^{2}=1\\;\\;\\;\\;\$；∴$9{a}^{2}+{b}^{2}≥\frac{9}{82}$；
[9a²+（b-1）²]（$\frac{1}{9}$+9）≥[3a×$\frac{1}{3}$+（b-1）×3]²=（a+3b-3）²=4，∴9a²+（b-1）²≥$\frac{36}{82}$
（2）$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{b}$=$（\frac{1}{3a}+\frac{1}{b}）（a+3b）=\frac{10}{3}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥\frac{16}{3}$；
因为a，b为正数，a+3b=1，所有a，3b都小于1，
$\frac{4}{1-a}+\frac{1}{1-3b}$=$（\frac{4}{1-a}+\frac{1}{1-3b}）（1-a+1-3b）$=5+$\frac{4（1-3b）}{1-a}+\frac{1-a}{1-3b}$≥9；
（3）∵$\frac{{a}^{2}+9{b}^{2}}{2}≥（\frac{a+3b}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，∴a²+9b²≥$\frac{1}{2}$，∴$1-{a}^{2}+1-9{b}^{2}≤\frac{3}{2}$，
又∵$（\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-9{b}^{2}}）（1-{a}^{2}+1-9{b}^{2}）$=2+$\frac{1-9{b}^{2}}{1-{a}^{2}}+\frac{1-{a}^{2}}{1-9{b}^{2}}$$≥2+2\sqrt{\frac{1-{a}^{2}}{1-9{b}^{2}}×\frac{1-9{b}^{2}}{1-{a}^{2}}}=4$．
∴$\frac{3}{2}（\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-9{b}^{2}}）≥（\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-9{b}^{2}}）（1-{a}^{2}+1-9{b}^{2}）≥4\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\$，
所以$\frac{1}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1}{1-9{b}^{2}}$$≥\frac{8}{3}$．
因为$\frac{{a}^{2}}{1-a}$+$\frac{3{b}^{2}}{1-b}$=$\frac{（1-a）^{2}-2（1-a）+1}{1-a}+\frac{3（1-b）^{2}-6（1-b）+3}{1-b}$
=（1-a）+$\frac{1}{1-a}-2$+3（1-b）+$\frac{3}{1-b}-6$
=-4-（a+3b）+$\frac{1}{1-a}+\frac{3}{1-b}=-5+\frac{1}{1-a}+\frac{3}{1-b}$；
∵$\frac{1}{1-a}+\frac{3}{1-b}=\frac{1}{1-a}+\frac{9}{a+2}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{1-a}+\frac{9}{2+a}）（1-a+2+a）$
=$\frac{1}{3}[10+\frac{a+2}{1-a}+\frac{9（1-a）}{a+2}]≥\frac{1}{3}（10+6）=\frac{16}{3}$．
∴$\frac{{a}^{2}}{1-a}$+$\frac{3{b}^{2}}{1-b}$$≥-5+\frac{16}{3}=\frac{1}{3}$．
（4）由柯西不等式得[（$\sqrt{a+1}$）²+（$\sqrt{3（1+b）}$）²][1²+（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）²]≥[$\sqrt{1+a}•1$+$\sqrt{3（1+b）}•\frac{1}{\sqrt{3}}$]²
∴（1+a+3+3b）（1+$\frac{1}{3}$）≥（$\sqrt{1+a}$+$\sqrt{1+b}$）²，∴$\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}≤\frac{2\sqrt{15}}{3}$
由柯西不等式得：[（$\sqrt{1-a}$）²+（$\sqrt{1-3b}$）²]•[1²+（$\sqrt{2}$）²]≥（$\sqrt{1-a}•1+\sqrt{1-3b}•\sqrt{2}$）²．
∴（1-a+1-3b）×3≥（$\sqrt{1-a}+\sqrt{2-6b}$）²，∴$\sqrt{1-a}+\sqrt{2-6b}≤\sqrt{3}$．

点评 本题考查了柯西不等式、均值不等式的灵活应用，属于难题．