Question

7．定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{3}$，则不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$的解集为{x丨0＜x＜4}．

Answer 1

分析 构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x在R单调递减，原不等式转化成F（log₂x）＞F（2），（x＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集．

解答 解：设F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，求导F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$＜0，则F（x）在R单调递减，
由f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$，即f（log₂x）-$\frac{1}{3}$•log₂x＞$\frac{1}{3}$，
由f（2）-$\frac{1}{3}$×2=$\frac{1}{3}$，
∴F（log₂x）＞F（2），（x＞0），
则log₂x＜2，解得：0＜x＜4，
∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}，
故答案为：：{x丨0＜x＜4}．
故答案为：{x丨0＜x＜4}．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．