Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1=2n，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$，且b_n≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知直接求出a₂，a₃的值，并由累加法求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列通项公式代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$，利用裂项相消法化简，求出最大值，可得b_n≤m恒成立时实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a_n-a_n-1=2n，∴a₂=6，a₃=12．
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
累加可得：a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴${a}_{n}=2[n+（n-1）+…+2+1]=2×\frac{n（n+1）}{2}=n（n+1）$．
当n=1时，a₁=2满足上式，
∴a_n=n（n+1）；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}+\frac{1}{（n+2）（n+3）}+…+$$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{2（n+1）}$．
即当n=1时，$（{b}_{n}）_{max}=\frac{1}{4}$．
∴若b_n≤m恒成立，则实数m的取值范围为[$\frac{1}{4}，+∞$）．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．