Question

8．已知函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与g（x）=e^x的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数a取值范围是（　　）

• A． [1，e+$\frac{1}{e}$]
• B． [1，e-$\frac{1}{e}$]
• C． [e-$\frac{1}{e}$，e+$\frac{1}{e}$]
• D． [e-$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 若函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与g（x）=e^x的图象上存在关于直线y=x对称的点，则函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=lnx的图象有交点，即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，利用导数法，可得实数a取值范围．

解答 解：若函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）
与g（x）=e^x的图象上存在关于直线y=x对称的点，
则函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）
与函数h（x）=lnx的图象有交点，
即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
则y′=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，y′＜0，函数为减函数，
当1＜x≤e时，y′＞0，函数为增函数，
故x=1时，函数取最小值1，
当x=$\frac{1}{e}$时，函数取最大值e+$\frac{1}{e}$，
故实数a取值范围是[1，e+$\frac{1}{e}$]，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档．