Question

18．北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．

	非围棋迷	围棋迷	合计
男	30	15	45
女	45	10	55
合计	75	25	100

（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（x2≥k0）	0.05	0.010
k0	3.74	6.63

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求在抽取的100人中“围棋迷”有25人，填写2×2列联表，计算观测值，比较临界值即可得出结论；
（2）由频率分布直方图计算频率，将频率视为概率，得出X～B（3，$\frac{1}{4}$），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望与方差．

解答 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，
从而2×2列联表如下：

	非围棋迷	围棋迷	合计
男	30	15	45
女	45	10	55
合计	75	25	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{100{{（30×10-45×15）}^2}}}{75×25×45×55}=\frac{100}{33}≈3.030$；
因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关；
（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，
将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为$\frac{1}{4}$，
由题意X～B（3，$\frac{1}{4}$），P（X=0）=${C}_{3}^{0}$•${（1-\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{4}$•${（1-\frac{1}{4}）}^{2}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$•（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的数学期望为$E（X）=np=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
方差为$D（X）=3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了分布列与数学期望、方差的计算问题，是综合题．