Question

10．SC为球O的直径，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=$\frac{π}{4}$，若棱锥A-SBC的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则球O的体积为$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 由题意求出SA=AC=SB=BC=$\sqrt{2}$R，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，利用棱锥S-ABC的体积，求出R，即可求球O的体积．

解答 解：如图：由题意，设球的直径SC=2R，A，B是该球球面上的两点．
AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=$\sqrt{2}$R，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则S_△ABO=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
进而可得：V_S-ABC=V_C-AOB+V_S-AOB，
所以棱锥S-ABC的体积为：$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$•2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以R=2，
此时三角形AOB为正三角形，符合，
所以球O的体积为$\frac{32}{3}π$．
故答案为$\frac{32}{3}π$．

点评 本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．