Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=2，点（a_n，a_n+1）在直线y=3x+2上，数列{b_n}满足b₁=2，$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
（1）求b₂的值；
（2）求证数列{a_n+1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：2-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$≤（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）＜$\frac{33}{16}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=2，点（a_n，a_n+1）在直线y=3x+2上，可得a_n+1=3a_n+2，a₂=8，根据$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，即可得出．
（2）由a_n+1=3a_n+2，可得a_n+1+1=3（a_n+1），即可证明．
（3）$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，可得$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，因此（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}}$×$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{2}}$×…×$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$×$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{2}}$×$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{3}}$×…×$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$×b_n+1=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$×b_n+1=3$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=3（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）．通过适当放缩即可证明不等式．

解答 （1）解：数列{a_n}满足a₁=2，点（a_n，a_n+1）在直线y=3x+2上，∴a_n+1=3a_n+2，∴a₂=8，
∵$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，b₁=2，∴b₂=8×$\frac{1}{2}$=4．
（2）证明：由a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为3，首项为3．
∴a_n+1=3ⁿ，解得a_n=3ⁿ-1．
（3）证明：$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}}$×$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{2}}$×…×$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{{b}_{1}}$×$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{2}}$×$\frac{1+{b}_{2}}{{b}_{3}}$×…×$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$×b_n+1
=$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$×b_n+1
═$\frac{1+{b}_{1}}{{b}_{1}{b}_{2}}$×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{n+1}}$×b_n+1
=3$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=3（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）．
3（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$）≥3$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$=3$（\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}）$=2-$\frac{1}{2×{3}^{n-1}}$．
∴2-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$≤（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）成立．
下面证明：（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）＜$\frac{33}{16}$．即证明$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{11}{16}$．
∵$\frac{1}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{1}{8•{3}^{n-2}}$．
$\frac{1}{{3}^{n}-1}$=$\frac{{3}^{n+1}-1}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$＜$\frac{{3}^{n+1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$＜$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+$\frac{1}{{3}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$=$\frac{11}{16}$．
∴（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）＜$\frac{33}{16}$．
综上可得：2-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$≤（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）＜$\frac{33}{16}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、“放缩法”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于难题．