Question

12．如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．
其中正确结论的序号是①②③．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．
同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB²+BC²=PA²+PC²=AC²，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，为∠PDC，知三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC=60°，故④错误．
故答案为：①②③．

点评 本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．