Question

2．已知函数f（x）=e^2x-ax²+bx-1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （e²-3，e²+1）
• B． （e²-3，+∞）
• C． （-∞，2e²+2）
• D． （2e²-6，2e²+2）

Answer 1

分析 利用f（1）=0得出a，b的关系，根据f′（x）=0有两解可知y=2e^2x与y=2ax+a+1-e²的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．

解答 解：∵f（1）=0，∴e²-a+b-1=0，∴b=-e²+a+1，
∴f（x）=e^2x-ax²+（-e²+a+1）x-1，
∴f′（x）=2e^2x-2ax-e²+a+1，
令f′（x）=0得2e^2x=2ax-a-1+e²，
∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，
∴y=2e^2x与y=2ax-a-1+e²的函数图象在（0，1）上有两个交点，
作出y=2e^2x与y=2ax-a-1+e²=a（2x-1）+e²-1函数图象，如图所示：

若直线y=2ax-a-1+e²经过点（1，2e²），则a=e²+1，
若直线y=2ax-a-1+e²经过点（0，2），则a=e²-3，
∴e²-3＜a＜e²+1．
故选A．

点评 本题考查的知识点是函数零点与函数图象的关系，转化思想，分类说讨论思想，中档题．