Question

12．如图，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，P为∠BAC内部一点，过点P的直线与∠BAC的两边交于点B，C，且PA⊥AC，AP=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若AB=3，求PC；
（Ⅱ）设∠APC=θ，求$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理求出PB的长，再解直角三角形即可求出答案，
（Ⅱ）根据正弦定理得PB=$\frac{AP}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cosθ}$，继而得到于是$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=sinθ，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理知PB²=AP²+AB²-2AP•ABcos$\frac{π}{6}$=3，得PB=$\sqrt{3}$=AP，
则∠BPA=$\frac{2π}{3}$，∠APC=$\frac{π}{3}$，
在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）因为∠APC=θ，则∠ABP=θ-$\frac{π}{6}$，
在Rt△APC中，PC=$\frac{AP}{cosθ}$，
在△PAB中，由正弦定理知$\frac{AP}{sin（θ-\frac{π}{6}）}$=$\frac{PB}{sin\frac{π}{6}}$，得PB=$\frac{AP}{2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
于是$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{2sin（θ-\frac{π}{6}）}{AP}$+$\frac{cosθ}{AP}$=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{AP}$=sinθ，
由题意知$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜sinθ＜1，
即$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题．