Question

10．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A₁B⊥AC₁．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ABC₁；
（2）若直线AA₁与底面ABC所成的角为60°，求直线AA₁与平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥侧面ACC₁A₁，所以AC₁⊥BC，再由A₁B⊥AC₁，得到AC₁⊥面A₁BC，由此能证明面ABC₁⊥面A₁BC．
（2）利用等体积方法，求出A₁到平面ABC₁的距离，即可求直线AA₁与平面ABC₁所成角的正弦值．

解答 （1）证明：因为底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC
因为侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，侧面ACC₁A₁∩底面ABC=AC，
所以BC⊥侧面ACC₁A₁，所以AC₁⊥BC，
又A₁B⊥AC₁，而A₁B∩BC=B，
所以AC₁⊥面A₁BC，
又AC₁?面ABC₁，所以面ABC₁⊥面A₁BC；
（2）解：由题意，∠A₁AC=60°，四边形ACC₁A₁是菱形．
设AC=2，则AB=2$\sqrt{2}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，BC₁=2$\sqrt{2}$，∴${S}_{△AB{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{8-3}$=$\sqrt{10}$
设A₁到平面ABC₁的距离为h，则$\frac{1}{3}×\sqrt{10}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×2$，
∴h=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
∴直线AA₁与平面ABC₁所成角的正弦值=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面角，考查学生的计算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．