Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α∈[0，π）），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁与C₂交于A，B两点，且|AB|＞$\sqrt{7}$，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d，利用|AB|＞$\sqrt{7}$，求α的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₂：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为  C₂：（x-2）²+y²=4，可得圆心（2，0），半径r=2；
（Ⅱ）设曲线C₁的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∵曲线C₁与C₂交于A，B两点，且|AB|＞$\sqrt{7}$，
∴d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＞$\frac{3}{2}$，∴∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴30°＜α＜120°．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．