Question

6．古代数学家杨辉在沈括的隙积数的基础上想到：若由大小相等的圆球剁成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），根据以上材料，我们可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 由题意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，则1²+2²+…+n²表示最下层为n，最上层1，则令a=1，b=n，代入即可求出对应的结果．

解答 解：由题意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，
令a=1，b=n，
则S=$\frac{n}{3}$（1²+n²+1•n+$\frac{n-1}{2}$）
=$\frac{n}{6}$（n+1）（2n+1）
=1²+2²+…+n²．
故答案为：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，数列的前n项和，属于基础题目．