Question

16．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0}\\{x-y≤0}\\{0≤y≤k}\end{array}\right.$，且z=x+y的最大值为6，则（x+5）²+y²的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，然后利用目标函数的几何意义，转化求解即可．

解答 解：作出不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0}\\{x-y≤0}\\{0≤y≤k}\end{array}\right.$，对应的平面区域，
由z=x+y，得y=-x+z
平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，
此时z最大为6．即x+y=6．由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得
A（3，3），
∵直线y=k过A，
∴k=3．
（x+5）²+y²的几何意义是可行域内的点与（-5，0）距离的平方，由可行域可知，（-5，0）到直线x+2y=0的距离DP最小．
可得（x+5）²+y²的最小值为：$（\frac{|-5|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}）^{2}$=5．
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．