Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆经过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆E的离心率．
（2）椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，由根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线距离公式，结合已知条件求出所求的圆为x²+y²=$\frac{4}{5}$．当切线的斜率不存在时，该圆满足条件，从而求出存在圆心在原点的圆x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆E的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1）知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切线与椭圆恒有两个交点P，Q，则使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=$\frac{{k}^{2}（4{t}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{t}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
要使$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{5{t}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r²=$\frac{{t}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{5}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，所求的圆为x²+y²=$\frac{4}{5}$．
②当切线的斜率不存在时，切线为x=±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于点（$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$）或（-$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$）满足．
综上，存在圆心在原点的圆x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线距离公式、椭圆等知识点的合理运用．