Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=2，且$\frac{{a_{n+1}^2}}{a_n}=4（{a_{n+1}}-{a_n}）（n∈{N^*}）$，则其前9项的和S₉=1022．

Answer 1

分析 由题意整理可得：a_n+1=2a_n，则数列{a_n}以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可求得S₉．

解答 解：由题意可知a_n+1²=4a_n（a_n+1-a_n），
则a_n+1²=4（a_na_n+1-a_n²），a_n+1²-4a_na_n+1+4a_n²=0
整理得：（a_n+1-2a_n）²=0，则a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}以2为首项，以2为公比的等比数列，
则前9项的和S₉=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{2}^{9}）}{1-2}$=1022，
故答案为：1022．

点评 本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．