Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点为F₁，F₂，离心率为e．P是椭圆上一点，满足PF₂⊥F₁F₂，点Q在线段PF₁上，且$\overrightarrow{{F_1}Q}=2\overrightarrow{QP}$．若$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，则e²=（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $2-\sqrt{2}$
• C． $2-\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 由题意求得P点坐标，根据向量的坐标运算求得Q点坐标，由$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，求得b⁴=2c²a²，则b²=a²-c²，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：PF₂⊥F₁F₂，则P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{{F_1}Q}=2\overrightarrow{QP}$，（x_Q+c，y_Q）=2（c-x_Q，$\frac{{b}^{2}}{a}$-y_Q），则Q（$\frac{c}{3}$，$\frac{2{b}^{2}}{3a}$），
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=（-$\frac{2c}{3}$，$\frac{2{b}^{2}}{3a}$），
由$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}Q}$=0，则2c×（-$\frac{2c}{3}$）+$\frac{{b}^{2}}{a}$×$\frac{2{b}^{2}}{3a}$=0，整理得：b⁴=2c²a²，
则（a²-c²）²=2c²a²，整理得：a⁴-4c²a²+c⁴=0，则e⁴-4e²+1=0，解得：e²=2±$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，则e²=2-$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．