Question

9．已知函数f（x）=e^x-1-$\frac{4a-3}{6x}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax²+$\frac{1}{2}$x-（a-1）．
（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（2）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，对f（x）求导，可得f′（x）=e^x-1+$\frac{4a-3}{6{x}^{2}}$，进而可得f′（1）的值，由互相垂直的直线斜率之间的关系可得f′（1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，将f（x）≥g（x）转化为$\frac{1}{x}$[xe^x-1-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+$\frac{1}{2}$-$\frac{2a}{3}$]≥0，可以设h（x）=xe^x-1-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+$\frac{1}{2}$-$\frac{2a}{3}$，对其求导可得h′（x）=（x+1）e^x-1-ax²-x+a-1=（x+1）[e^x-1-a（x-1）-1]，（x≥1），再设k（x）=e^x-1-a（x-1）-1，求出k（x）的导数．分情况讨论h（x）≥0是否成立，综合可得答案．

解答 解：（1）根据题意，f（x）=e^x-1-$\frac{4a-3}{6x}$，
则其导数f′（x）=e^x-1+$\frac{4a-3}{6{x}^{2}}$，
则有f′（1）=1+$\frac{4a-3}{6}$，
若曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，
则有f′（1）×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
解可得a=$\frac{9}{4}$；
（2）根据题意，由f（x）≥g（x）可得：f（x）-g（x）≥0，
即（e^x-1-$\frac{4a-3}{6x}$）-[$\frac{1}{3}$ax²+$\frac{1}{2}$x-（a-1）]=$\frac{1}{x}$[xe^x-1-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+$\frac{1}{2}$-$\frac{2a}{3}$]≥0，
设h（x）=xe^x-1-$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+$\frac{1}{2}$-$\frac{2a}{3}$，（x≥1），
若f（x）≥g（x），必有h（x）≥0，
h′（x）=（x+1）e^x-1-ax²-x+a-1=（x+1）[e^x-1-a（x-1）-1]，（x≥1），
设k（x）=e^x-1-a（x-1）-1，则k′（x）=e^x-1-a，
①、当a≤1时，k′（x）≥0对x≥1成立，
又由k（1）=0，故k（x）≥0，即h′（x）≥0成立，
又h（1）=0，故有h（x）≥0；
②、当a＞1时，由k′（x）=0，解可得x=1+lna＞1，
当x∈（1，1+lna）时，k′（x）＜0，
又由k（1）=0，故k（x）＜0，即h′（x）＜0成立，
又h（1）=0，故h（x）＜0，不合题意；
综上可得：a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查导数的综合应用，涉及利用导数求切线方程以及最值问题，关键是理解导数与函数的单调性之间的关系．