Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+pn，且a₂，a₅，a₁₀成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=1+$\frac{5}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得a_n=2n-1+p，再根据a₂，a₅，a₁₀成等比数列，求出p的值，问题得以解决，
（2）把（1）求出的a_n代入b_n，再求出b_n的表达式，然后由裂项相消法来求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1+p，
当n=1时，a₁=S₁=1+p，也满足，
故a_n=2n-1+p，
∵a₂，a₅，a₁₀成等比数列，
∴（3+p）（19+p）=（9+p）²，
∴p=6，
∴a_n=2n+5，
（2）由（1）可得b_n=$\frac{4{n}^{2}+24n+40}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{（2n+5）（2n+7）+5}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{5}{2}$（$\frac{1}{2n+5}$-$\frac{1}{2n+7}$）+1，
∴T_n=n+$\frac{5}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$+…+$\frac{1}{2n+5}$-$\frac{1}{2n+7}$）=n+$\frac{5n}{14n+49}$=$\frac{14{n}^{2}+54n}{14n+49}$

点评 本题考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质以及裂项求和，考查了基础知识和运算能力，属于中档题