Question

7．定义上凸函数如下：设f（x）为区间I上的函数，若对任意的x₁，x₂∈I总有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，则称f（x）为I上的上凸函数，某同学查阅资料后发现了上凸函数有如下判定定理和性质定理：
判定定理：f（x）为上凸函数的充要条件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）为f（x）的导函数f′（x）的导数．
性质定理：若函数f（x）为区间I上的下凸函数，则对I内任意的x₁，x₂，…，x_n，都有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）．
请问：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）≤-sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，根据凸函数的性质sinA+sinB+sinC≤3sin（$\frac{A+B+C}{3}$），即可求得sinA+sinB+sinC的最大值．

解答 解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）≤-sinx，x∈（0，π），
由当x∈（0，π），0＜sin≤1，则f″（x）＜0成立，则f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函数，
由凸函数的性质可知：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$≤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）．
则sinA+sinB+sinC≤3sin（$\frac{A+B+C}{3}$）=3×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查凸函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．