Question

16．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别是BB₁和CD的中点．
（Ⅰ）求AE与A₁F所成角的大小；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系，利用向量方法求AE与A₁F所成角的大小；
（Ⅱ）证明∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，即可求AE与平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz，则A（0，0，0），E（1，0，$\frac{1}{2}$），A₁（0，0，1），F（$\frac{1}{2}$，1，0）
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1）
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}F}$=0，
所以AE与A₁F所成角为90°-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁⊥平面ABCD
∴∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，又E是BB₁中点，
在直角三角形EBA中，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$．-----------------------（13分）

点评 本题考查异面直线所成角，线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．