Question

5．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中
AB⊥AD，AB=BC=1，AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
    （Ⅰ）求证：直线C₁D⊥平面ACD₁；
    （Ⅱ）试求三棱锥A₁-ACD₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，证明AB⊥AD，AC⊥CD．CC₁⊥AC，推出AC⊥C₁D，通过CD₁⊥C₁D，AC⊥C₁D，证明C₁D⊥面ACD₁．
（Ⅱ）利用三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，求解底面面积，利用CE为三棱锥C-AA₁D₁的高．求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，…（1分）
因为由底面四边形ABCD是直角梯形，
所以AB⊥AD，…（2分）
又AB=BC=1，
易知AE=ED=1，且$AC=CD=\sqrt{2}$，
所以AC²+CD²=AD²，所以AC⊥CD．…（4分）
又根据题意知CC₁⊥面ABCD，从而CC₁⊥AC，而CC₁∩CD=C，
故AC⊥C₁D．…（6分）
因为CD=AC=AA₁=CC₁，及已知可得CDD₁C₁是正方形，从而CD₁⊥C₁D．
因为CD₁⊥C₁D，AC⊥C₁D，且AC∩CD₁=C，
所以C₁D⊥面ACD₁．…（8分）
（Ⅱ）解：因三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱锥C-AA₁D₁的体积即可，…（9分）
而CE⊥AD，且由AA₁⊥面ABCD可得CE⊥AA₁，又因为AD∩AA₁=A，
所以有CE⊥平面ADD₁A₁，即CE为三棱锥C-AA₁D₁的高．         …（11分）
故${V}_{C-A{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$•AA₁•A₁D₁•CE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2×1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．