已知x＞0.y＞0.x+y2=4.则log2x+2log2y的最大值为2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．已知x＞0，y＞0，x+y²=4，则log₂x+2log₂y的最大值为2．

分析利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．

解答解：∵实数x，y＞0，x+y²=4，
∴4=x+y²≥2$\sqrt{x{y}^{2}}$，化为xy²≤4，当且仅当x=2，y=$\sqrt{2}$时取等号．
则log₂x+2log₂y=log₂（xy²）≤log₂4=2．
因此log₂x+2log₂y的最大值是2．
故答案为：2．

点评本题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．

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20．

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为4的正方形，高AA₁=4$\sqrt{2}$，P为CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥A₁P；
（2）求二面角C-PD-B的余弦值．

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1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{cosx，x＜0}\end{array}\right.$，则f[f（-$\frac{π}{3}$）]=（　　）

A．

cos$\frac{1}{2}$

B．

-cos$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax²+x+$\frac{1}{4}$b有两个相异零点的概率是（　　）

A．

$\frac{1}{2（e-1）}$

B．

$\frac{1}{4（e-1）}$

C．

$\frac{1}{8（e-1）}$

D．

$\frac{1}{16（e-1）}$

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5．

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中
AB⊥AD，AB=BC=1，AD=2，AA₁=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：直线C₁D⊥平面ACD₁；
（Ⅱ）试求三棱锥A₁-ACD₁的体积．

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15．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数$\frac{2+bi}{1-i}$=ai，则a+b=4．

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2．已知指数函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象过点P（2，4），则在（0，10]内任取一个实数x，使得f（x）＞16的概率为$\frac{3}{5}$．

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19．某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

	选择自然科学类	选择社会科学类	合计
男生	60	45	105
女生	30	45	75
合计	90	90	180

附：${K^2}=\frac{{n{{（{ab-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4=0
（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．

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