Question

18．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax²+x+$\frac{1}{4}$b有两个相异零点的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{2（e-1）}$
• B． $\frac{1}{4（e-1）}$
• C． $\frac{1}{8（e-1）}$
• D． $\frac{1}{16（e-1）}$

Answer 1

分析 设所求的事件为A，由方程ax²+x+$\frac{1}{4}$b=0有两个相异根，即△=1-ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．

解答 解：设事件A={使函数f（x）=ax²+x+$\frac{1}{4}$b有两个相异零点}，
方程ax²+x+$\frac{1}{4}$b=0有两个相异根，即△=1-ab＞0，解得ab＜1，
∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，
∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且 0≤b≤2}，面积为2（e-1）；
事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且 0≤b≤2}，面积S=${∫}_{1}^{e}\frac{1}{a}da$=1，
∴事件A的概率P（A）=$\frac{1}{2（e-1）}$．
故选A．

点评 本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．