Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，S_n=2a_n+1，其中S_n为{a_n}的前n项和（n∈N^*）．
（Ⅰ）求S₁，S₂及数列{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{S_n}$，且{b_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，$\frac{1}{3}≤|{T_n}|≤\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的递推公式得到数列{S_n}为以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，即可求出通项公式，再代值计算即可，
（Ⅱ）先求出b_n，再根据前n项和公式得到|T_n|，利用放缩法即可证明．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}满足S_n=2a_n+1，则S_n=2a_n+1=2（S_n+1-S_n），即3S_n=2S_n+1，
∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{3}{2}$，
即数列{S_n}为以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
∴S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
∴S₁=1，S₂=$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{S_n}=-1×\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}$，
T_n为{b_n}的前n项和，
则|T_n|=$|-1×\{1+（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}$$+[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（&\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}\}|$|=$|1+（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}+$$[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}|$．
而当n≥2时，$1-\frac{2}{3}≤|1+（-\frac{2}{3}）$$+\frac{4}{9}+[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+$$\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}|≤|1+$$（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}|=\frac{7}{9}$，
即$\frac{1}{3}≤|{T_n}|≤\frac{7}{9}$．

点评 本题考查数列的通项及不等式的证明，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．