Question

20．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为4的正方形，高AA₁=4$\sqrt{2}$，P为CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥A₁P；
（2）求二面角C-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理，要证BD⊥BD⊥A₁P．，只证BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（2）以D为原点建立直角坐标系，则D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，4，2$\sqrt{2}$），求出面PDB、面CDP的法向量即可．

解答 解：（1）证明：在长方体AC₁中，连结A₁C₁，AC
∵底面ABCD是正方形，∴对角线BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．∵A₁P?面A₁ACC₁∴BD⊥A₁P．
（2）如图以D为原点建立直角坐标系，则D（0，0，0）
B（4，4，0），P（0，4，2$\sqrt{2}$）
于是$\overrightarrow{BD}=（-4，-4，0）$，$\overrightarrow{PD}=（0，-4，-2\sqrt{2}$）．
设$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$是面PDB的法向量，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-4x-4y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-4y-2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，2）$．
面CDP的法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}•1}=\frac{1}{2}$，∴二面角C-PD-B的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了空间异面直线垂直的证明方法，及向量法求二面角，属于中档题．