Question

16．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，若$a=\sqrt{3}$，则b²+c²的取值范围是（　　）

• A． （5，6]
• B． （3，5）
• C． （3，6]
• D． [5，6]

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可得b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b²+c²=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$），利用B的范围，可求2B-$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．

解答 解：∵（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（c-b）c，化为b²+c²-a²=bc．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A为锐角，可得A=$\frac{π}{3}$，
∵$a=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sin（\frac{2π}{3}-B）}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴可得：b²+c²=（2sinB）²+[2sin（$\frac{2π}{3}$-B）]²=3+2sin²B+$\sqrt{3}$sin2B=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：2B-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：b²+c²=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（5，6]．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．