Question

2．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁B₁的中点，则异面直线D₁E和BC₁间的距离是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D₁E和BC₁间的距离．

解答 解：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
D₁（0，0，2），E（2，1，2），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，1，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，2），
设$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的公共法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
∴异面直线D₁E和BC₁间的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．