Question

1．如图1，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且$AE=2，∠AEC={60°}，CD=ED=\sqrt{7}$，$cos∠EDC=\frac{5}{7}$．将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置如图2，且$AP=\sqrt{3}$，得到四棱锥P-ABCE．

（1）求证：AP⊥平面ABCE；
（2）记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由已知结合余弦定理得CE．连接AC，可得AC=2．在△PAE中，由PA²+AE²=PE²，得AP⊥AE．同理，AP⊥AC，然后利用线面垂直的判定可得AP⊥平面ABCE；
（2）由AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，可得AB∥平面PCE，又平面PAB∩平面PCE=l，结合面面平行的性质可得AB∥l．

解答 证明：（1）在△CDE中，∵$CD=ED=\sqrt{7}$，$cos∠EDC=\frac{5}{7}$，
∴由余弦定理得CE=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}-2×\sqrt{7}×\sqrt{7}×\frac{5}{7}}$=2．
连接AC，∵AE=2，∠AEC=60°，∴AC=2．
又∵$AP=\sqrt{3}$，∴在△PAE中，PA²+AE²=PE²，
即AP⊥AE．
同理，AP⊥AC，
∵AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，
且AC∩AE=A，
故AP⊥平面ABCE；
（2）∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，
∴AB∥平面PCE，
又平面PAB∩平面PCE=l，
∴AB∥l．

点评 本题考查线面垂直的判定，面面平行的性质，考查空间想象能力和思维能力，关键是明确折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．