Question

11．《最强大脑》是江苏卫视推出国内首档大型科学类真人秀电视节目，该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克，某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分，假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．
（1）求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；
（2）求比赛结束时B队得分X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设事件“比赛结束时A队的得分高于B队的得分”为A，事件“比赛结束时B队的得分高于a队的得分”，事件“比赛结束时A队的得分等于B队的得分”为事件C，根据：每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，可得P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．即可得出P（A）．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．根据相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）设事件“比赛结束时A队的得分高于B队的得分”为A，事件“比赛结束时B队的得分高于a队的得分”，事件“比赛结束时A队的得分等于B队的得分”为事件C，根据：每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，
则P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．
∴P（A）=$\frac{1}{2}$．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．
P（X=0）=$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，P（X=1）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{3}×3$=$\frac{3}{16}$，
P（X=2）=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{4}{16}$，
P（X=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{2}×{∁}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{4}{16}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×{∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$，P（X=5）=$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$．

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

E（X）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{3}{16}$+2×$\frac{4}{16}$+3×$\frac{4}{16}$+4×$\frac{3}{16}$+5×$\frac{1}{16}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥及其对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．