Question

3．已知P为双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 与点P的位置有关

Answer 1

分析 设P（m，n），则$\frac{{n}^{2}}{4}$-n²=1，即m²-4n²=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．

解答 解：设P（m，n），则$\frac{{n}^{2}}{4}$-m²=1，即n²-4m²=4，
由双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1的渐近线方程为y=±2x，
则由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y-n=-\frac{1}{2}（x-m）}\end{array}\right.$，解得交点A（$\frac{2n+m}{5}$，$\frac{4n+2m}{5}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y-n=\frac{1}{2}（x-m）}\end{array}\right.$，解得交点B（$\frac{m-2n}{5}$，$\frac{4n-2m}{5}$）．
$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{2n-4m}{5}$，$\frac{2m-n}{5}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{-4m-2n}{5}$，$\frac{-2m-n}{5}$），
则有|PA|•|PB|=$\frac{\sqrt{（m-2n）^{2}+（4n-2m）^{2}}}{5}•\frac{\sqrt{（-4m-2n）^{2}+（-2m-n）^{2}}}{5}$=$\frac{|2m-n||2m+n|}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．