Question

19．如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=2，AC=CD=3．
（Ⅰ）证明：EO∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取线段AC的中点F，连接OF、DF，由三角形中位线定理可得OF∥BC，且OF=$\frac{1}{2}BC$，在直角梯形BCDE中，有DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，可得OF∥DE且OF=DE，则四边形OEDF为平行四边形，再由线面平行的判定可得EO∥平面ACD；
（Ⅱ）依题意，平面BCDE⊥平面ABC，由面面垂直的性质可得DC⊥平面ABC，从而得到DC⊥AC，又AC⊥BC，可得AC⊥平面BCDE，则平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面ABE的一个法向量$\overrightarrow{n}=（4，3，2）$，又$\overrightarrow{CA}=（3，0，0）$为平面BDE的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，得到二面角A-BE-D的余弦值为．

解答 （Ⅰ）证明：取线段AC的中点F，连接OF、DF，
∵O为线段AB的中点，∴OF∥BC，且OF=$\frac{1}{2}BC$，
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴OF∥DE且OF=DE，则四边形OEDF为平行四边形，
∴OE∥DF，又OE?平面ACD，DF?平面ACD，
∴EO∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：依题意，平面BCDE⊥平面ABC，
平面BCDE∩平面ABC=BC，且DC⊥BC，
∴DC⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴DC⊥AC，又AC⊥BC，DC∩BC=C，
∴AC⊥平面BCDE，又AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）解：以C为原点，分别以CA、CB、CD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），D（0，0，3），E（0，2，3）．
$\overrightarrow{AE}=（-3，2，3）$，$\overrightarrow{AB}=（-3，4，0）$．
设平面ABE的一个法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-3x+2y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-3x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}=（4，3，2）$；
$\overrightarrow{CA}=（3，0，0）$为平面BDE的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CA}|}=\frac{12}{\sqrt{29}×3}=\frac{4\sqrt{29}}{29}$．
∴二面角A-BE-D的余弦值为$\frac{4\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题考查线面平行与面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．