Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{x^2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，函数g（x）=x+$\frac{1}{x}$+a（x＞0），若存在唯一的x₀，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值为h（x₀），则实数a的取值范围为（-∞，-2）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g（x）的最小值为2+a，由题意可得2+a＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{x^2，0＜x≤1}\end{array}\right.$的图象，
可得f（x）的最小值为0，最大值为2；
g（x）=x+$\frac{1}{x}$+a（x＞0）≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+a=2+a，
当且仅当x=1取得最小值2+a．
由存在唯一的x₀，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的值
为h（x₀），
可得2+a＜0，解得a＜-2．
故答案为：（-∞，-2）．

点评 本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．