Question

18．设点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，其中A（1，1），B（2，4），C（3，1），则$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，2）
• D． [$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 根据A、B、C的坐标画出如图可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）、O（0，0），可得k=$\frac{y}{x}$表示直线P、O连线的斜率，运动点P得到PO斜率的最大、最小值，即可得到$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：根据A、B、C的坐标作出图形，
得到如图所示的△ABC及其内部的区域
设P（x，y）为区域内的动点，可得
O（0，0），则k=$\frac{y}{x}$表示直线P、O连线的斜率，
运动点P，可得
当P与B点重合时，k_BC=$\frac{4}{2}$=2达到最大值；
当P与C点重合时，k_CO=$\frac{1}{3}$达到最小值
∴k的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]．
故选：D．

点评 本题给出二元一次不等式组，求$\frac{y}{x}$的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．