Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）-2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

• A． （0，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）-sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）-2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．
化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）-sin（ωx+2φ）+sinωx
=sinωx，
由$\frac{π}{2}$+$2kπ≤ωx≤2kπ+\frac{3π}{2}$，（k∈Z）上单调递减，
得：$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}≤x≤\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}$，
∴函数f（x）的单调减区间为：[$\frac{2kπ}{ω}$$+\frac{π}{2ω}$，$\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}$]，（k∈Z）．
∵在（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2kπ}{ω}+\frac{π}{2ω}≤π}\\{\frac{2kπ}{ω}+\frac{3π}{2ω}≥\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{2k+\frac{1}{2}≤ω}\\{\frac{4k}{3}+1≥ω}\end{array}\right.$，（k∈Z）．
∵ω＞0，
当k=0时，
可得：$\frac{1}{2}≤$ω≤1．
考查选项，故选C．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．