Question

10．已知函数f（x）=|x-4|，g（x）=a|x|，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x-4|＞4|x|+1，分类讨论求得x的范围．
（2）由题意可得|x-4|≥a|x|-4对任意x∈R恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于a≤$\frac{|x-4|+4}{|x|}$对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x-4|＞4|x|+1，
x＜0，不等式化为4-x＞-4x+1，解得x＞-1，∴-1＜x＜0；
0≤x≤4，不等式化为4-x＞4x+1，解得x＜$\frac{3}{5}$，∴0≤x＜$\frac{3}{5}$；
x＞4，不等式化为x-4＞4x+1，解得x＜-$\frac{5}{3}$，无解；
综上所述，不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{3}{5}$}；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-4对任意x∈R恒成立，即|x-4|≥a|x|-4对任意x∈R恒成立，
当x=0时，不等式|x-4|≥a|x|-4恒成立；
当x≠0时，问题等价于a≤$\frac{|x-4|+4}{|x|}$对任意非零实数恒成立．
∵$\frac{|x-4|+4}{|x|}$≥$\frac{|x-4+4|}{|x|}$=1，∴a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．