Question

5．设函数f（x）=$\frac{3}{2}{x^2}-2ax（{a＞0}）$与g（x）=a²lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{{2{e^2}}}$
• B． $\frac{1}{2}{e^2}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{3}{{2{e^2}}}$

Answer 1

分析 设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

解答 解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=3x-2a，g′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{3}{2}$x₀²-2ax₀=a²lnx₀+b，3x₀-2a=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$
由3x₀-2a=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$得x₀=a或x₀=-$\frac{1}{3}$a（舍去），
即有b=$\frac{3}{2}$a²-2a²-a²lna=-$\frac{1}{2}$a²-a²lna．
令h（t）=-$\frac{1}{2}$t²-t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），
于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜$\frac{1}{e}$时，h′（t）＞0；
当2t（1+lnt）＜0，即t＞$\frac{1}{e}$时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，$\frac{1}{e}$）为增函数，在（$\frac{1}{e}$，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
故b的最大值为$\frac{1}{2{e}^{2}}$．
故选A．

点评 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．